Реферат: "Уравнения математической физики", читаемым авторов на факультете "Прикладная математика" в МАИ 2.0 Лекция

§ 1.Тема. Некоторые определения и обозначения.

Определение.
Дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее производные неизвестной функции. Если неизвестная функция зависит от одной переменной, то это обыкновенное дифференциальное уравнение, иначе - уравнение в частных производных.
Определение.
Наивысший порядок производных неизвестной функции, входящих в уравнение, называется порядком уравнения.
Определение.
Дифференциальное уравнение называется линейным, если производные и сама неизвестная функция входят в уравнение линейным образом.
(1)
Пусть выбран любой , где , и его норма:
- дифференциальный оператор.
- запись линейного диф. уравнения с помощью диф. оператора. (2)
Определение.
Открытое, связное множество называется областью.
По умолчанию будем считать область ограниченной.
Через или будем обозначать границу области.
Определение.
- (n-1)-мерное многообразие S в принадлежит классу ( ), если
для и такие, что:
, где
однозначно проектируется на плоскость , при этом:
D - проекция данного множества на плоскость , - k раз непрерывно дифференцируема в D по всем переменным.

Можно разбить поверхность на части, в каждой части можно одну координату выразить через другие непрерывно дифференцируемой функцией.
- множество k раз непрерывно дифференцируемых функций в Q.
- множество k раз непрерывно дифференцируемых функций в .
, аналогично .
- множество финитных k раз непрерывно дифференцируемых функций.
Аналогично: .

§ 2. Классификация линейных уравнений в частных производных второго порядка.
.
- матрица квадратичной формы.
- n вещественных собственных значений матрицы A
- количество положительных собственных значений.
- количество отрицательных собственных значений.
- количество нулевых собственных значений с учетом кратности.

1.Если = n или = n, то это эллиптическое уравнение.
Ex: Уравнение Пуассона
.
2.